Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．

        

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；
（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．

【解析】
（1）猜想：AB=AC+CD．
证明：如图，在AB上截取AE=AC，连接DE，

∵AD为∠BAC的角平分线时，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+DE=AC+CD．
（2）猜想：AB+AC=CD．
证明：如图，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．

∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△EAD≌△CAD．
∴ED=CD，∠AED=∠ACD．
∴∠FED=∠ACB．
又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B．
∴EB=ED．
∴EA+AB=EB=ED=CD．
∴AC+AB=CD．

“点睛”此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．