Question

（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°

（1）求∠B的大小（4分）

（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长（8分）

Answer

（1）证明略

（2）AD=2OE=6

【解析】考点：圆周角定理；三角形内角和定理；三角形中位线定理．

分析：（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；

（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．

【解析】
（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，

∴∠CDB=40°；

又∵∠APD=65°，

∴∠BPD=115°；

∴在△BPD中，

∴∠B=180°-∠CDB-∠BPD=25°；

（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．

∵AB是直径，

∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；

∴OE∥AD；

又∵O是AB的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴AD=2OE=6．