Question

如图(1)，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

(2)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）全等，PC⊥PQ，理由参见解析；（2）存在，t=1，x="1" 或t=2，x=．

【解析】试题分析：（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

试题解析：（1）当t=1时，AP=BQ=1，∵AB＝4cm，∴BP=AC=3，又因为∠A=∠B=90°，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；（2）设点Q的运动速度为x cm/s，则BQ=tx，分两种情况：①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，所以3=4-t，t=xt，解得：t=1，x=1；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，所以3=xt，t=4-t，解得：t=2，x=．综上所述，存在这样的实数x，使得△ACP与△BPQ全等，此时相应的x、t的值为t=1，x="1" 或t=2，x=．

考点：全等三角形的判定与性质．