Question

如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(    )

①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A.S；③∠ADC=60°； ④点D在AB的垂直平分线上

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；

②根据作图的过程可以判定出AD的依据；

③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；

④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.

【解析】
如图所示，

①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；

故①正确；

②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；

故②错误；

③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CBA=60°.

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.

故③正确；

④∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴点D在AB的中垂线上.

故④正确；

故选C.

“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC的度数是解题的关键.