Question

在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x 轴于点H，在抛物线y=x²（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是______．

Answer

【解析】试题解析：①如图1，当∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；

∵∠AOH=60°，

∴直线OA：y=x，

联立抛物线的解析式得： ，

解得： 或，

故A（，3）；

②当∠POQ=∠AOH=60°，此时△POQ≌△AOH，

易知∠POH=30°，则直线y=x，联立抛物线的解析式，得： ，

解得： 或，

故P（， ），那么A（， ）；

③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH；

易知∠POH=30°，则直线y=x，联立抛物线的解析式，得： ，

解得： 或，

故P（， ），

∴OP=，QP=，

∴OH=OP=，AH=QP=，

故A（， ）；

④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH；

此时直线y=x，联立抛物线的解析式，得： ，

解得： 或，，

∴P（，3），

∴QP=2，OP=2，

∴OH=QP=2，AH=OP=2，

故A（2，2）．

综上可知：符合条件的点A有四个，分别为：（，3）或（， ）或（， ）或（2，2）．