Question

如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．求证：PQ=BP．

Answer

证明见解析.

【解析】试题分析：根据SAS定理，即可判断△BAE≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．

试题解析：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

在△BAE和△ACD中，

，

∴△BAE≌△ACD，

∴∠ABE=∠CAD．

∵∠BPQ为△ABP外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．

∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴PQ=BP.

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等边三角形、直角三角形、三角形的内角及外角和定理等知识点，证明三角形全等是解决问题的关键.