Question

如图，点A在x轴的正半轴上，以OA为直径作⊙P，C是⊙P上一点，过点C的直线y＝x＋与x轴，y轴分别相交于点D，点E，连接AC并延长与y轴相交于点B，点B的坐标为(0， )．

(1)求证：OE＝CE；

(2)请判断直线CD与⊙P位置关系，证明你的结论，并求出⊙P半径的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）直线CD是⊙P的切线，证明见解析；⊙P半径的值为6.

【解析】试题分析：（1）连接OC，利用已知条件计算出CE和OB的长度，再证明△BCO为直角三角形，利用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明OE=CE；（2）①直线CD是⊙P的切线，证明PC⊥CD．②设⊙P的半径为r，则在Rt△PCD中，由勾股定理得到关于r的方程，求出r即可．

试题解析(1)如图所示，连接OC，

∵直线y＝x＋与y轴相交于点E，

∴点E的坐标为(0， )，即OE＝.

又∵点B的坐标为(0， )，

∴OB＝，

∴BE＝OE＝，

又∵OA是⊙P的直径，

∴∠ACO＝90°，即OC⊥AB，

∴OE＝CE.

(2)直线CD是⊙P的切线．

证明：连接PC，PE，由(1)可知OE＝CE.

在△POE和△PCE中，

∴△POE≌△PCE，

∴∠POE＝∠PCE.

又∵x轴⊥y轴，

∴∠POE＝∠PCE＝90°，

∴PC⊥CE，即PC⊥CD.

又∵直线CD经过半径PC的外端点C，

∴直线CD是⊙P的切线．

∵对y＝x＋，当y＝0时，x＝－6，即OD＝6，

在Rt△DOE中，DE＝＝＝，

∴CD＝DE＋EC＝DE＋OE＝＋＝.

设⊙P的半径为r，

则在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2＋CD2＝PD2，

即r2＋(6)2＝(6＋r)2，

解得r＝6，即⊙P半径的值为6.

点睛：本题综合考查了切线的性质、判定定理、有股定理以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，具有较强的综合性，由一定的难度.