Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于(0， )，点A坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点F为线段AC上一动点，过点F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为点E，G，当四边形OEFG为正方形时，求出点F的坐标；

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+；（2）（1，1）；（3）当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．

【解析】试题分析：（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．

试题解析：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，

∴抛物线的对称轴为y轴，

∴抛物线的顶点为（0，），

故抛物线的解析式可设为y=ax2+．

∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上，

∴a+=2，

解得a=﹣，

∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，

令y=0得，﹣x2+=0，

解得：x1=3，x2=﹣3，

∴点C的坐标为（3，0）．

设直线AC的解析式为y=mx+n，

则有，

解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+．

设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．

∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上，

∴﹣p+=p，

解得p=1，

∴点F的坐标为（1，1）．

②当点F在第二象限时，

同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），

此时点F不在线段AC上，故舍去．

综上所述：点F的坐标为（1，1）；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，

则OD=t，OE=t+1．

∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．

当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．

当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．

在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，

∴MN2=12+（）2=．

①当DN=DM时，

（﹣t+）2=t2﹣t+2，

解得t=；

②当ND=NM时，

﹣t+=，

解得t=3﹣；

③当MN=MD时，

=t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3．

∵0≤t≤2，∴t=1．

综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．

考点：二次函数综合题.