Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

（1）试说明AH＝BH

（2）求证：BD＝CG．

（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析

【解析】试题分析：

（1）根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；
（3）证明△ACE≌△CBF即可．

试题解析：

（1）∵AC=BC，CH⊥AB∴AH＝BH

（2）∵ABC为等腰直角三角形，且CH⊥AB

∴∠ACG＝45°

∵∠CAG＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°

∴∠CAG＝∠BCF

在△ACG和△CBD中

∴△ACG≌△CBD（ASA）

∴BD＝CG

（3）AE=EF＋BF

理由如下：

在△ACE和△CBF中，

∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．