Question

如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15° .

（1）求证：△AOB为等边三角形；

（2）求∠BOE度数．

Answer

（1）见解析；（2）75°

【解析】试题分析：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB，则只需求得∠BAC=60°，即可证明三角形是等边三角形；

（2）因为∠B=90°，∠BAE=45°，所以AB=BE，又因为△ABO是等边三角形，则∠OBE=30°，故∠BOE度数可求．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD=∠ABC=90°，AO=BO=AC=BD

∵AE是∠BAD的角平分线；

∴∠BAE=45°

∵∠CAE=15°

∴∠BAC=60°

∴△AOB是等边三角形；

（2）【解析】
∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°

∴AB=BE

∵△ABO是等边三角形

∴AB=BO

∴OB=BE

∵∠OBE=30°，OB=BE，

∴∠BOE=（180°﹣30°）=75°．