Question

直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．

（1）求点D的坐标；

（2）求出四边形AOCD的面积；

（3）若点P为x轴上一动点，且使PD+PC的值最小，不写过程，直接写出点P的坐标。

Answer

（1）D点坐标为（﹣， ）；

（2）四边形AOCD的面积=；

（3）点E的坐标为（2﹣2，0）、（﹣2﹣2，0）、（2，0）、（0，0）．

【解析】试题分析：（1）先把A点坐标代入y=2x+m得到m=4，则y=-2x+4，再利用AB=4可得到B点坐标为（2，0），则把B点坐标代入y=-x+n可得到n=2，则y=-x+2，然后根据两直线相交的问题，通过解方程组得到D点坐标；

（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用四边形AOCD的面积=S△DAB-S△COB进行计算即可；（3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC=，然后分类讨论：当AE=AC=时，以A点为圆心，2画弧交x轴于E1点和E2点，再写出它们的坐标；当CE=CA时，E3点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA=EC时，E4点为坐标原点．

试题解析：（1）把A（﹣2，0）代入y=2x+m得﹣4+m=0，

解得m=4，

∴y=﹣2x+4，

∵AB=4，A（﹣2，0），

∴B点坐标为（2，0），

把B（2，0）代入y=﹣x+n得﹣2+n=0，

解得n=2，

∴y=﹣x+2，

解方程组得，

∴D点坐标为（﹣， ）；

（2）当x=0时，y=﹣x+2=2，

∴C点坐标为（0，2），

∴四边形AOCD的面积=S△DAB﹣S△COB=×4×﹣×2×2=；

（3）∵A（﹣2，0），C（0，2），

∴AC=，

当AE=AC=时，E1点的坐标为（﹣2，0），E2点的坐标为（﹣﹣2，0）；

当CE=CA时，E3点的坐标为（2，0），

当EA=EC时，E4点的坐标为（0，0），

综上所述，点E的坐标为（﹣2，0）、（﹣﹣2，0）、（2，0）、（0，0）．

点睛：本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.若两条直线是平行关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同.也考查了分类讨论思想的运用.