Question

如图1，已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，是点A落在OC上的G点处。

（1）求证：四边形OECH是平行四边形；

（2）如图2，当点B运动到使得点F，G重合时，判断四边形OECH的形状并说明理由；

（3）当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，求点B的坐标。

Answer

（1）证明见解析；（2）点B的坐标是（0， ）；四边形OECH是菱形．理由见解析；（3）（0， ）或（0，2）．

【解析】试题分析：（1）如图1，根据矩形的性质得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行线的性质得∠BOC=∠OCA，然后根据折叠的性质得到∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，所以∠EOC=∠OCH，根据平行线的判定定理得OE∥CH，加上BC∥OA，于是可根据平行四边形的判定方法得四边形OECH是平行四边形；

（2）如图2，先根据折叠的性质得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，由点F，G重合得到EH⊥OC，根据菱形的判定方法得到平行四边形OECH是菱形，则EO=EC，所以∠EOC=∠ECO，而∠EOC=∠BOE，根据三角形内角和定理可计算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=BC=，于是得到点B的坐标是（0， ）；

（3）分类讨论：当点F在点O，G之间时，如图3，根据折叠的性质得OF=OB，CG=CA，则OF=CG，所以AC=OF=FG=GC，设AC=m，则OC=3m，在Rt△OAC中，根据勾股定理得m2+52=（3m）2，解得m=，则点B的坐标是（0， ）；当点G在O，F之间时，如图4，同理可得OF=CG=AC，设OG=n，则AC=GC=2n，在Rt△OAC中，根据勾股定理得（2n）2+52=（3n）2，解得n=，则AC=OB=2，所以点B的坐标是（0，2）．

试题解析：（1）证明：如图1，

∵四边形OBCA为矩形，

∴OB∥CA，BC∥OA，

∴∠BOC=∠OCA，

又∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，

∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，

∴∠EOC=∠OCH，

∴OE∥CH，

又∵BC∥OA，

∴四边形OECH是平行四边形；

（2）【解析】
点B的坐标是（0， ）；四边形OECH是菱形．理由如下：如图2，

∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，

∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，

∵点F，G重合，

∴EH⊥OC，

又∵四边形OECH是平行四边形，

∴平行四边形OECH是菱形，

∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

又∵∠EOC=∠BOE，

∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，

又∵点A的坐标是（5，0），

∴OA=5，

∴BC=5，

在Rt△OBC中，OB=BC=，

∴点B的坐标是（0， ）；

（3）【解析】
当点F在点O，G之间时，如图3，

∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，

∴OF=OB，CG=CA，

而OB=CA，

∴OF=CG，

∵点F，G将对角线OC三等分，

∴AC=OF=FG=GC，

设AC=m，则OC=3m，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴m2+52=（3m）2，解得m=，

∴OB=AC=，

∴点B的坐标是（0， ）；

当点G在O，F之间时，如图4，

同理可得OF=CG=AC，

设OG=n，则AC=GC=2n，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴（2n）2+52=（3n）2，解得n=，

∴AC=OB=2，

∴点B的坐标是（0，2）．

考点：四边形综合题．