Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

Answer

见解析

【解析】（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；

（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．

(1）证明：∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB

∵BD、CE是△ABC的两条高

∴∠BDC=∠CEB=90°

又∵BC=CB

∴△BDC≌△CEB（AAS）

∴∠EBC=∠DCB

∴AB=AC

∴△ABC是等腰三角形.

（2）【解析】
点O在∠BAC的平分线上.如图，连接AO.

∵ △BDC≌△CEB

∴BD=CE

又∵OB=OC

∴OD=OE.

又∵∠BDA=∠CEA=90°

AO=AO

∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）

∴∠DAO=∠EAO

∴点O在∠BAC的平分线上.

（(2)也可用角平分线性质定理的逆定理，更简单）