Question

如图，在中， 和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：

①；② ；

③点到各边的距离相等；

④设， ，则．

其中正确的结论是___________．(填序号)

Answer

①②③

【解析】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故②正确；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，

∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，

∴BE=OE，CF=OF，

∴EF=OE+OF=BE+CF，

故①正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON=OD=OM=m，

∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故④错误；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．

故答案是：①②③．

【点睛】主要运用了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．