Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，点E是BC上一个动点（点E与B、C不重合），连AE，若a、b满足，且c是不等式组 的最大整数解．

（1）求a，b，c的长；

（2）若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小；

Answer

（1）a=8，b=6，c=10；（2）135°

【解析】试题分析：（1）根据关于a、b的二元一次方程组求得a、b的值；由关于x的不等式组求得x的取值范围-4≤x＜11，从而求得c=10；
（2）设CE=x，则BE=8-x．根据已知条件“AE平分△ABC的周长”列出关于x的一元一次方程，通过解方程求得x=6；然后推知△ACE为等腰直角三角形；最后由等腰直角三角形的性质、外角定理求得∠BEA的大小．

试题解析：（1）方程组的解为

不等式组的解为：-4≤x＜11，
所以c=10．

（2）如图，设CE=x，则BE=8-x．
∵AE平分△ABC的周长，
∴6+x=10+（8-x），
∴x=6，
∴CE=6，BE=2，
又∵AC=6，∠C=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°，
∴∠BEA=135°.