Question

如图，正方形ABCD的边长为8cm，分别过四个顶点A、B、C、D做四条直线EF、FG、GH、HE，并保证相邻两条直线垂直，相交于E、F、G、H四点，且AE=BF=CG=DH．

（1）求证：四边形EFGH是正方形；

（2）判断无论如何按照上述要求作图，线段EG、AC的中点是否重合，并说明理由；

（3）判断四边形EFGH的面积有无最大值，若有请写出面积最大值，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）线段EG、AC的中点重合，理由见解析；（3）面积最大值为128cm2,理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）理由叙述合理即可．

（1）∵相邻两条边互相垂直，

∴∠E=∠F=∠G=∠H=90°，

又∵AE=BF=CG=DH，AB=BC=CD=DA，

∴△EAB≌△FBC≌△GCD≌△HAD，

∴AH=BE=CF=DG，

∴EF=FG=GH=HE，

∵相邻两条边互相垂直，

∴四边形EFGH是正方形；

（2）（证法不唯一）

线段EG、AC的中点重合.

连结EC、AG，

∵AE= CG，且AE∥CG，

∴四边形AECG为平行四边形，

∴线段EG、AC的中点重合.

（3）有最大值，面积最大值为128cm2.如图，

当ABCD分别为各边中点时，四边形EFGH面积最大.（理由叙述合理即可.）

例如：在各种情况中当ABCD分别为各边中点时，四边形EFGH边长为正方形ABCD对角线，其他情况中边长都比对角线小.

点睛：此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过做辅助线证明三角形才能得出结果.