Question

在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．

（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；

（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）

（3）在（2）的条件下，连接EF，则△DEF与△CDE相似吗？试说明理由．

Answer

（1）（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由见解析；（2）y=；（3）△DEF与△CDE相似．理由见解析.

【解析】试题分析：1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，因此△ABD∽△ACD，证出∠PDQ=∠C，由∠DAE=∠CAD，得出△ADE∽△ACD；在证出△CDE∽△CAD，即可得出结果；

（2）证出△BDF∽△CDE，得出对应边成比例，即可得出y与x的函数关系式；

（3）由（2）可知：△BDF∽△CDE，得出证出，由∠EDF=∠C，即可得出△DEF∽△CED．

试题分析：（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：

∵AB=AC，D为底边BC的中点，

∴∠B=∠C，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴△ABD∽△ACD，

∵∠PDQ=∠B，

∴∠PDQ=∠C，

又∵∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD；

∵∠CDE+∠PDQ=90°，

∴∠C+∠PDQ=90°，

∴∠CED=90°=∠ADC，

又∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；

（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，

∠FDC=∠FDE+∠EDC，

∴∠EDC=∠BDF，

∴△BDF∽△CDE，

∴，

∵D为BC的中点，

∴BD=CD=6，

∴

∴y=；

（3）△DEF与△CDE相似．理由如下：如图所示：

由（2）可知：△BDF∽△CDE，

则，

∵BD=CD，

∴，

又∵∠EDF=∠C，

∴△DEF∽△CED．