Question

阅读理【解析】
在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”给出下列定义：   若，则点与的“非常距离”为；

若，则点与的“非常距离”为. 例如：点，点，因为，所以点与的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）．

（1）已知点A，B为轴上一个动点．

①若点B（0，3），则点A与点B的“非常距离”为       ；

②若点A与点B的“非常距离”为2，则点B的坐标为             ；

③直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值       .

（2）已知点D（0，1），点C是直线上的一个动点，如图2，求点C与点D“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标.

Answer

（1）①3，②（0，2）或（0，－2） ③（2）

【解析】试题分析：（1）①根据若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|解答即可；

②根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；

③设点B的坐标为（0，y）．因为|--0|≥|0-y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|--0|=；

（2）设点C的坐标为（x0， x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标．

试题解析：（1）∵|--0|=，|0-3|=3，

∴＜3，

∴点A与点B的“非常距离”为3．

②∵B为y轴上的一个动点，

∴设点B的坐标为（0，y）．

∵|--0|=≠2，

∴|0-y|=2，

解得，y=2或y=-2；

∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2），

③点A与点B的“非常距离”的最小值为．

（2）如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，

需要根据运算定义“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”解答，

此时|x1-x2|=|y1-y2|，即AC=AD，

∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），

∴设点C的坐标为（x0， x0+3），

∴-x0=x0+2，

此时，x0=-，

∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，

此时C（-， ）．