Question

如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF．

　 (1)求证：△CAE∽△CBF

  (2)若BE=1，AE=2，求CE的长．

Answer

．

【解析】（1）首先由△ABC和△CEF均为等腰三角形可得AC：BC=CE：CF，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF尽快；

（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠CBF，再根据∠CAE+∠CBF=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可.

【解析】
（1）证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，

∴＝＝，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF．

（2）【解析】
∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，

又∵＝＝，AE=2 ∴＝，∴BF＝，

又∵∠CAE＋∠CBE＝90°， ∴∠CBF＋∠CBE=90°，

∴∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2＋BF2=12＋()2＝3，

∴EF＝，∵CE2＝2EF2＝6， ∴CE=．