Question

如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE．下列结论中： ①CE=BD; ②∠ADC=90°， ③     ④ ,正确的是（   ）                               

A. ①②③④    B. ①②③    C. ①④    D. ①③④

Answer

D

【解析】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE.

在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE，

∴CE=BD，故①正确；

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠BCG=180°-(∠BCG+∠CBG)=90°，

∴BD⊥CE，

∴S四边形BCDE=BD·CE，故③正确；

∵在Rt△BCG中，由勾股定理得BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，由勾股定理，得DE2=DG2+EG2，

∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2.

又∵在Rt△BGE中，由勾股定理，得BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD2=CG2+DG2，

∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，

∴BE2+CD2=BC2+CD2，故④正确.

②无法证明.

综上所述，正确结论有3个.

故选C.

点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用、对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键.