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如图,点A在函数y=(x>0)图象上,过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图...

如图,点A在函数y=(x>0)图象上,过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图象于点B,C,直线BC与坐标轴的交点为D,E.

(1)当点C的横坐标为1时,求点B的坐标;

(2)试问:当点A在函数y=(x>0)图象上运动时,△ABC的面积是否发生变化?若不变,请求出△ABC的面积,若变化,请说明理由.

(3)试说明:当点A在函数y=(x>0)图象上运动时,线段BD与CE的长始终相等.

 

(1)B点坐标为(,4); (2)即△ABC的面积不发生变化,其面积为; (3)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)由条件可先求得A点坐标,从而可求得B点纵坐标,再代入y=可求得B点坐标; (2)可设出A点坐标,从而可表示出C、B的坐标,则可表示出AB和AC的长,可求得△ABC的面积; (3)可证明△ABC∽△EFC,利用(2)中,AB和AC的长可表示出EF,可得到BG=EF,从而可证明△DBG≌△CFE,可得到DB=CF. 解析:(1)∵点C在y=的图象上,且C点横坐标为1, ∴C(1,1), ∵AC∥y轴,AB∥x轴, ∴A点横坐标为1, ∵A点在函数y=(x>0)图象上, ∴A(1,4), ∴B点纵坐标为4, ∵点B在y=的图象上, ∴B点坐标为(,4); (2)设A(a,),则C(a,),B(,), ∴AB=a﹣=a,AC=﹣=, ∴S△ABC=AB•AC=, 即△ABC的面积不发生变化,其面积为; (3)如图,设AB的延长线交y轴于点G,AC的延长线交x轴于点F, ∵AB∥x轴, ∴△ABC∽△EFC, ∴,即, ∴EF=a, 由(2)可知BG=a, ∴BG=EF, ∵AE∥y轴, ∴∠BDG=∠FCE, 在△DBG和△CFE中 ∴△DBG≌△CEF(AAS), ∴BD=EF.  
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