Question

如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；

（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD-S△BOD，即可求得答案．

试题解析：（1）连接OD，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠ABC=90°，

∵CD=CB，

∴∠CBD=∠CDB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，

即OD⊥CD，

∵点D在⊙O上，

∴CD为⊙O的切线；

（2）过点O作OF⊥BD于点F，

在Rt△OBF中，

∵∠ABD=30°，OF=1，

∴∠BOF=60°，OB=2，BF= ，

∵OF⊥BD，

∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，

∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．

【点睛】此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．