Question

如图，已知抛物线的顶点C在x轴正半轴上，一次函数与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．

（1）求m的值．

（2）求A、B两点的坐标．

（3）点P（a，b）（）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．

Answer

（1）3；（2）A（1，4），B（6，9）；（3）=，=．

【解析】

试题分析：（1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于0可求得m的值；

（2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；

（3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得△ABC的面积，再利用a、b表示出△PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值．

试题解析：（1）∵抛物线的顶点C在x轴正半轴上，∴方程有两个相等的实数根，∴，解得m=3或m=﹣9，又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0，∴m=3；

（2）由（1）可知抛物线解析式为，联立一次函数，可得，解得：或，∴A（1，4），B（6，9）；

（3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，

∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a，∴S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15，S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP=（9+b）（6﹣a）﹣（b+4）（1﹣a）﹣×（4+9）×5=（5b－5a﹣15），又S△PAB=2S△ABC，∴（5b－5a﹣15）=30，即b－a=15，∴b=15+a，∵P点在抛物线上，∴，∴，∴，解得：，∵，∴=，∴=．

考点：二次函数综合题．