Question

如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer

(1)y=+x+2；(2)存在．P（，4）或（，）或（，）；(3) 当E运动到BC的中点时，△EBC面积最大，△EBC最大面积是4，此时E（2，1）．

【解析】

试题分析：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=+bx+c列方程组即可；

（2）先求出CD的长，分两种情形①当CP=CD时，②当DC=DP时分别求解即可；

（3）求出直线BC的解析式，设E(m，)，则F(m，)，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

试题解析：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=+bx+c得，

解得b=，c=2，

∴抛物线的解析式为y=+x+2；

（2）存在．如图1中，∵C（0，2），D（，0），

∴OC=2，OD=，CD==，

①当CP=CD时，可得（，4），

②当DC=DP时，可得（，），（，），

综上所述，满足条件的P点的坐标为（，4）或（，）或（，）；

（3）如图2中，

对于抛物线y=+x+2，当y=0时，+x+2=0，解得=4，=﹣1，

∴B（4，0），A（﹣1，0），

由B（4，0），C（0，2）得直线BC的解析式为y=x+2，

设E(m，)，则F(m，)，

EF=()﹣()==，

∴＜0，∴当m=2时，EF有最大值2，

此时E是BC中点，

∴当E运动到BC的中点时，△EBC面积最大，

∴△EBC最大面积=×4×EF=×4×2=4，此时E（2，1）．

考点：二次函数综合题．