Question

已知，如图，抛物线y=﹣x²+ax+b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．设∠OCB=α，∠OCA=β，且tanα﹣tanβ=2，OC²=OA•OB．

（1）△ABC是否为直角三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．

Answer

（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+1；（3）四边形ABPC的面积为．

【解析】试题分析：（1）利用已知得出Rt△BOC∽Rt△COA，进而得出∠OCA+∠OCB=90°，即可得出答案；

（2）由题意可得，方程﹣x2+ax+b=0有两个不同的实数根，进而得出C点坐标，可得出b的值，再利用tanα=，tanβ=，由tanα﹣tanβ=2，得出a的值进而得出答案；

（3）作PF⊥x轴于点F，根据S四边形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DB•PF﹣DA•OC，进而得出答案．

试题解析：（1）△ABC是直角三角形．

理由如下：

∵OC2=OA•OB，∴=，

又∵∠BOC=∠COA=90°，∴Rt△BOC∽Rt△COA，∴∠OCB=∠OAC，

又∵∠OCA+∠OAC=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，

即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；

（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，

∴方程﹣x2+ax+b=0有两个不同的实数根，

设这两个根分别为x1、x2，且x1＜x2，显然，x1＜0，x2＞0，

得A、B两点的坐标分别为A（x1，0）、B（x2，0），

由根与系数的关系，有x1+x2=a，x1•x2=﹣b，

对于抛物线y=﹣x2+ax+b，当x=0时，y=b，∴C点的坐标为C（0，b）；

由已知条件OC2=OA•OB，得b2=（﹣x1）•x2，即b2=﹣x1•x2，∴b2=b，

∵点C在y轴的正半轴上，∴b＞0，从而得b=1，

∵tanα=，tanβ=，由tanα﹣tanβ=2，得﹣=2，即OB﹣OA=2OC，

得x2﹣（﹣x1）=2b，x2+x1=2b，即a=2b，∴a=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+1；

（3）由抛物线的解析式y=﹣x2+2x+1，配方得：y=﹣（x﹣1）2+2，

∴其顶点P的坐标为P（1，2）．

解方程﹣x2+2x+1=0，得x1=1﹣，x2=1+，∴A（1﹣，0），B（1+，0），

解法一：设过P、C两点的直线与x轴交于点D，

直线的解析式为：y=kx+1，把P（1，2）坐标代入，得k=1，

∴直线PC：y=x+1，当y=0时，x=﹣1，即点D的坐标为D（﹣1，0）．

∵﹣1＜1﹣，∴点D在点A的左边，

作PF⊥x轴于点F，

∴S四边形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DB•PF﹣DA•OC

= [（1+）+1]×2﹣ [（1﹣）+1]×1

=，

即四边形ABPC的面积为．

解法二：过点P作PF⊥x轴于点F，

则∴S四边形ABPC=S△OAC+S梯形COFP+S△PFB

=OA•OC+（OC+PF）•OF+FB•PF

=（﹣1）×1+（1+2）×1+（1+﹣1）×2

=；

即四边形ABPC的面积为．

【点睛】本题是二次函数综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，解直角三角形、一元二次方程等，解题的关键是结合已知与图形，认真观察，选取合适的知识点、解题方法，从而得解.