Question

如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．

（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；

（2）求∠A的度数；

（3）求的值．

Answer

（1）作图见解析；（2）∠A=75°；（3）=2．

【解析】试题分析：（1）利用三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点即可画出图形．

（2）只要证明△BOD是等腰直角三角形即可推出∠ABD=∠DBO=45°，利用三角形内角和定理即可解决问题．

（3）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，设DE=x，则BD=2x，BE= =x，用x的代数式表示AD、DC即可解决问题．

试题解析：（1）作BC的垂直平分线MN，作BD的垂直平分线HF，MN与FH的交点为O，以点O为圆心OB为作⊙O即可．如图所示：

；

（2）连结OB、OD，

由切线性质，知∠ABO=90°．

∵∠ACB=45°，∴∠BOD=90°（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=45°，

由∠ABO=90°，得∠ABD=45°，∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣45°﹣60°=75°；

（3）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，

在Rt△BCE中，∵∠ACB=45°，∴∠EBC=45°，∴BE=CE．

在Rt△BDE中，∵∠DBE=90°﹣∠EDB=30°，∴BD=2DE，

设DE=x，则BD=2x，BE==xDC=CE﹣DE=BE﹣DE=（﹣1）x．

AE=AD﹣DE=AD﹣x．

在△ABC和△ADB中，∵∠ABD=∠ACB=45°，∠A为公共角，∴△ABC∽△ADB，

∴ ，即AB2=AC•AD，即

AB2=（AD+DC）•AD=AD2+AD•（﹣1）x ①．

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2=AE2+BE2=（AD﹣x）2+（x）2 ②．

由①、②，得AD2+AD•（﹣1）x=（AD﹣x）2+（x）2，

化简整理，解得AD=2（﹣1）x．

∴ =2，

∴=2．

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意作出图形，能够从复杂的图形中找到基本图形，选取适合的知识点进行解答.