Question

如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）求证：AD+BE=DE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）DE+BE=AD，理由见解析

【解析】试题分析：（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．

试题解析：

（1）如图1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

∵ ，

∴△ADC≌△CEB；

∴DC=BE，AD=EC，

∵DE=DC+EC，

∴DE=BE+AD．

（2）【解析】
DE+BE=AD．理由如下：

如图2，∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°．

又∵AD⊥MN于点D，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠CAD=∠BCE．

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．