Question

如图，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA＝OB.

（1）求b＋c的值；

（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；

（3）在（2）条件下，点P（不与A，C重合）是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标..

Answer

（1）1；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）根据抛物线与轴交于点，求出点的坐标，再根据 求出点的坐标，将点坐标代入解析式，整理后即可求出 的值；
（2）若四边形OABC是平行四边形，则 用表示出点的坐标，把点的坐标代入解析式，求出和的关系，结合（1）问，求出和的值，进而求出抛物线的解析式；
（3）是等腰直角三角形，设点的坐标为 由，列出关于x的一元二次方程，求出的值，即可求出的坐标．

试题解析：(1)∵抛物线与y轴正半轴交于B点，

∴点B的坐标为(0,c)，

∵OA=OB，

∴点A的坐标为(−c,0),将点A(−c,0)代入得

∵c≠0，整理得b+c=1；

(2)如图,如果四边形OABC是平行四边形,那么CO∥AB,BC∥AO，

∴点C的坐标可以表示为(c,c)，

当点C(c,c)落在抛物线上时,得

整理得b=c，

结合(1)问c+b=1,得

故此时抛物线的解析式为

(3)△BPM是等腰直角三角形,设点P的坐标为,

由BM=PM,列方程,解得或x=0(舍去)，

所以当时,

点的坐标为(0,−1)，

同理当BP=PM时,求出点的坐标为

综上点M的坐标为(0,−1)或