Question

已知在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋5与x轴交于点A，与抛物线y＝ax²＋bx交于B，C两点，且点B的坐标为（1，7），点C的横坐标为5.

（1）直接写出k的值和点C的坐标；

（2）将此抛物线沿对称轴向下平移n个单位，当抛物线与直线AB只有一个公共点时，求n的值；

（3）在抛物线上有点P，满足直线AB，AP关于x轴对称，求点P的坐标.．

Answer

（1）k=2, C(5,15)；（）4；（3）

【解析】试题分析：（1）把点的坐标(1,7)代入y=kx+5得，到的值，从而得到一次函数的解析式；把x=5代入y=2x+5，得y=15，得到点坐标.

（2）把代入，即可组成方程组求出抛物线的解析式；
把抛物线的顶点坐标，然后写出平移后的顶点式形式，再根据与直线只有一个交点联立方程求解即可得到平移后的顶点坐标，然后写出向下平移的单位即可．

找点B关于轴的对称点B'（1，-7），得直线AB'解析式为：

把抛物线的方程和直线方程联立，即可求得点的坐标.

试题解析：(1)把点的坐标(1,7)代入y=kx+5得，7=k+5，

解得k=2，

∴y=2x+5，

把x=5代入y=2x+5，得y=15，

∴ (5,15).

把代入，得a=−1，b=8，

抛物线的顶点坐标为(4,16)，对称轴是直线x=4，

设向下平移后的抛物线的顶点坐标为(4,k)，

所以,平移后的抛物线的解析式为

与直线y=2x+5联立消掉y得,

整理得,

∵抛物线与直线AB只有一个交点，

解得k=12，

所以，此抛物线沿着对称轴向下平移4个单位.

找点B的对称点B'（1，-7），得直线AB'解析式为：

联立，

得