Question

如图1，抛物线y=ax²-4ax+b交x轴正半轴于A，B两点，交y轴正半轴于C，且OB=OC=3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线的顶点，点G在直线BC上，若，直接写出点G的坐标；

（3）将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M，N（如图2），若∠MON=45°，求m的值．

Answer

（1）y=x2-4x+3；（2）；（3）m=

【解析】试题分析： 把 代入 解方程组即可．
直线BC:y=-x+3,设点根据两点之间的距离公式，列出式子，求出的值.
（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG.首先证明MN2=CM2+BN2，设 则设平移后的抛物线的解析式为由 消去得到 由

，推出 关于直线对称，所以 设 则 利用勾股定理求出以及的长，再根据根与系数关系，列出方程即可解决问题．

试题解析：(1)∵OB=OC=3，

代入

得 解得

∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．

（2）直线BC: 设点

顶点的坐标为：

，

，

（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG．

∵∠MON=45°，

∴∠MOC+∠NOB=∠NOB+∠BOG=45°，

∴∠MON=∠GON=45°，∵ON=ON，OM=OG，

∴△ONM≌△ONG，

∴MN=NG，

∵∠NBG=∠NBO+∠OBG=45°+45°=90°，

∴NG2=BN2+BG2，

∴MN2=CM2+BN2，

设平移后的抛物线的解析式为y=x2-4x+3+m， M（x1，y1），N（x2，y2）,

则

设平移后的抛物线的解析式为

由 消去得到

，推出

关于直线对称，所以 设 则∴

(负根已经舍弃)，