Question

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，

∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，

∴∠BAD=45°=∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，

∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，

∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，

∴AF=AE，故①正确；

∵M为EF的中点，

∴AM⊥EF，故②正确；

过点F作FH⊥AB于点H，

∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，

∴FD=FH＜FA，故③错误；

∵AM⊥EF，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，

在△FBD和△NAD中

∴△FBD≌△NAD，

∴DF=DN，故④正确；

故选C．