Question

如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E、F，已知MN=6cm.

（1）求△OEF的周长；

（2）连接PM，PN，若∠APB=a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；

（3）当∠a=30，判定△PMN的形状，并说明理由.

Answer

（1）6cm;(2) 2α;(3) △PMN是等边三角形．理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据轴对称的性质把△OEF的周长转化为MN的长度，根据题意即能得出△OEF的周长；

（2）根据轴对称的性质可得∠MPA=∠OPA，∠NPB=∠OPB，从而可得；

（3）由（2）可得∠MPN=60°，由轴对称的性质可得PM=PN，从而可得△PMN是等边三角形.

试题解析：（1）∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，

∴EM=EO，FN=FO，

∴△OEF的周长=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=6cm；

（2）连接OP，

∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，

∴∠MPA=∠OPA，∠NPB=∠OPB，

∴∠MPN=2∠APB=2ɑ；

（3）△PMN是等边三角形，理由如下：

∵∠ɑ=30°，

∴∠MPN=60°，

∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，

∴PM=PO，PN=PO，

∴PM=PN，

∴△PMN是等边三角形．

【点睛】本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的判定等，属于基础题，解题的关键是要注意数形结合.