Question

证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：

如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．

求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P

证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，

∴      =      （      ）．

同理可得，PB=      ．

∴      =      （等量代换）．

∴      （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的      ）

∴AB、BC、AC的垂直平分线      ．

Answer

PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P．

【解析】

试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根据线段垂直平分线的性质可得出点P是AC边垂直平线上的一点，从而证出结论．

证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，

∴PB=PA （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．

同理可得，PB=PC（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．

∴PA=PC（等量代换）．

∴点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），

∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．

故答案为：PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PA；PC；点P是AC边垂直平线上的一点；垂直平分线上；相交于点P．