Question

如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

Answer

（1）证明见解析；（2）AB+AC=2AE．

【解析】试题分析：（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，根据角平分线的判定可得AD平分∠BAC；

（2）BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE．

试题解析：

【解析】
（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E＝∠DFC＝90°，

∴△BDE与△CDE均为直角三角形，

∵ ，

∴△BDE≌△CDF，

∴DE＝DF，

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴AD平分∠BAC；

（2）AB＋AC＝2AE．

理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠CAD，

∵∠E＝∠AFD＝90°，

∴∠ADE＝∠ADF，

在△AED与△AFD中，

∵ ，

∴△AED≌△AFD，

∴AE＝AF，

∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE．

点睛：本题考查的是角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，熟知角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．