Question

四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）

（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．

求证：△ABF≌△DAE；

（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系　   　；

（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是　   　，线段EF与AF、BF的等量关系是　   　；

②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是　   　；

（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．

Answer

（1）证明见解析；（2）EF=AF-BF；（3）①△ABF≌△DAE；EF=BF-AF；②EF=AF+BF；（2）EF=BF-AF．

【解析】试题分析：（1）根据正方形性质得出AB＝AD，∠DAB＝90°，根据垂直定义得出∠AED＝∠AFB＝90°，根据等角的余角相等求出∠ADE＝∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可；

（2）根据全等得出AE＝BF，代入即可求出答案；

（3）①△ABF≌△DAE，EF＝BF－AF，证法与（1）（2）类似；②EF＝AF＋BF，证明过程类似；

（4）根据正方形性质得出AB＝AD，∠DAB＝90°，根据垂直定义得出∠AED＝∠AFB＝90°，求出∠ADE＝∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可．

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝90°，

∴∠DAE＋∠BAE＝90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠EAD＋∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）【解析】
线段EF与AF、BF的等量关系是EF＝AF－BF，

理由是：∵由（1）知：△ABF≌△DAE，

∴BF＝AE，

∴EF＝AF－AE＝AF－BF，

故答案为：EF＝AF－BF；

（3）①【解析】
△ABF≌△DAE，EF＝BF－AF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝90°，

∴∠DAE＋∠BAE＝90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠EAD＋∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

∴△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE＝BF，

∴EF＝AE－AF＝BF－AF，

故答案为：△ABF≌△DAE，EF＝BF－AF；

②【解析】
EF＝AF＋BF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝90°，

∴∠DAE＋∠BAF＝180°－90°＝90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠EAD＋∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE＝BF，

∴EF＝AE＋AF＝AF＋BF，

故答案为：EF＝AF＋BF；

（4）【解析】

与以上证法类似：△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE＝BF，

∴EF＝AE－AF＝BF－AF；

即EF＝BF－AF．

点睛：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据等角的余角相等得出∠BAF＝∠ADE是解题关键，每一问的解题过程基本类似，注意利用类比进行解答．