Question

在等边△ABC中，

（1）如图1，若D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，求∠BDE的度数；

（2）若点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE.

①根据题意在图2中补全图形；

②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.请帮助小玉证明CD=BE.

        图1                         图2

Answer

（1）∠EDB=30°；

（2）作图见解析，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）首先根据题目已知条件由等腰三角形三线合一性质可以得出∠ADB=90°，∠BAD=30°，再由AD关于直线AB的对称线段为线段AE可以得出∠EAD=60°，从而可以证明△ADE是等边三角形，继而得出∠ADE=60°，最后计算出∠EDB=30°；（2）要证明CD=BE，我们可以通过证明△EAB≌△DAC证得.

试题解析：

（1）【解析】
∵等边△ABC中， D为线段BC中点，

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，

即∠ADB=90°，∠BAD=30°，

∵AD关于直线AB的对称线段为线段AE，

∴AD=AE，∠EAB=∠BAD=30°，

∴∠EAD=60°，∴△EAD为等边三角形，

∴∠ADE=60°，∴∠EDB=30°；

（2）作图略，

证明：如图，连接AE.

∵AD=DE，∠ADE=60°，

∴△ADE为等边三角形，

∴AE=AD，∠EAD=60°，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠EAD =∠BAC，

∴∠EAB=∠DAC，

在△EAB和△DAC中，

，

∴△EAB≌△DAC,

∴CD=BE.

点睛：要证明线段相等，可以利用等边对等角性质，也可以利用全等来证明，根据具体题目选择恰当的方法证明.