Question

如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax²﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，

①当点M（2，n）时，求n，并求△ABM的面积.

②当点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值和此时点M的坐标.

Answer

（1）a=﹣1，y=﹣x2+2x+3；

（2）①n=3，S△ABM=3；

②S =﹣（m﹣）2+，M′的坐标为（， ）， S取得最大值．

【解析】试题分析：（1）令一次函数x=0，得出B的坐标，将B的坐标代入二次函数解析式即可解出a；（2）①令一次函数y=0，得出A 的坐标，令二次函数x=2，可得n及M的坐标，根据A、B、M的坐标可求出△ABM的面积；②要表示出△ABM的面积可用割补法，S是关于m的二次函数，要求最值，将二次函数解析式写成顶点式即可.

试题解析：

【解析】
（1）把x=0代入y=－3x+3得y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2－2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=－1，

∴y=－x2+2x+3；

（2） 令y=0得：0=－x2+2x+3，

∴x=－1或3，

∴抛物线与x轴的交点横坐标为－1和3，

∵M在抛物线上，且在第一象限内，

∴0＜m＜3，

令y=0代入y=－3x+3，

∴x=1，

∴A的坐标为（1，0），

当x=2时，代入y=－x2+2x+3=3，则M（2，3）即n=3，

此时MB//x轴，MB=2， S△ABM=2×3×=3；

（3）

如图，连接OM,

令x=m，y=－m2+2m+3，

∴M的坐标为（m，－m2+2m+3），

S=S四边形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

=×m×3+×1×（－m2+2m+3）－×1×3

=－m2+m，

∵S =－（m－）2+ ，

∴当m=时，S取得最大值．

当m=时，y=－（）2+2×+3=，

∴M′的坐标为（， ）.

点睛：函数中要求三角形面积，并且三角形没有一条边在数轴上，可以采用割补法求得.