Question

如图1所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，．

（1）求证：∠BAE=∠FEC

（2）取边AB的中点G，连接EG，求证：EG=CF；

（3）将△ECF绕点E逆时针旋转90° 得△EC′A， 如图2，指出AC′与EG的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AC′//EG.

【解析】试题分析：（1）由同角的余角相等，即可得到结论；

（2）用ASA证明△AGE≌△ECF即可；

（3）结论：AC′//EG．证明四边形AGEC′为平行四边形即可．

试题解析：【解析】
（1）四边形ABCD是正方形，∴∠B =90°，∠AEB+∠BAE=90°．

∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF；

（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°．

∵取AB的中点G，点E是边BC的中点，∴AG=EC=BE，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°．

∵CF平分∠DCG，∴∠DCF=∠FCG=45°，∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，∴∠AGE=∠ECF．

因为∠GAE=∠CEF，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴EG=CF；

（3）AC′与EG的位置关系是：AC′//EG．

∵∠C′EC=∠B=90°，∴AG//C′E．

∵AG=C′E，∴四边形AGEC′为平行四边形，∴AC′//EG．

点睛：本题是四边形综合题．解题的关键是用ASA证明△AGE≌△ECF．