Question

如图，边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2．

（1）若将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD，BE，在旋转过程中，AD和BE又怎样的数量关系？并说明理由；

（2）在（1）旋转过程中，边D′E′的中点为P，连接AP，当AP最大时，求AD′的值．

（3）若点M为等边△ABC内一点，且MA=4a，MB=5a，MC=3a，求∠AMC的度数．

Answer

（1）AD'=BE'，理由见解析；（2）2；（3）∠AMC=150°．

【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质，即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论；

（2）先判断出点A，C，P三点共线，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论；

（3）将△BMC绕点C顺时针旋转得到△ANC，连接MN，只要证明△CMN是等边三角形，△AMN是Rt△即可解决问题；

试题解析：（1）结论：AD'=BE'，

理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，

由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，

∴△ACD'≌△BCE'，

∴AD'=BE'；

（2）如图连接CP，

在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，

∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，

如图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'= ，

∴CP=3，

∴AP=6+3=9，

在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'= =2；

（3）将△BMC绕点C顺时针旋转得到△ANC，连接MN，

∴CM=CN，BM=AN，△BCM≌△ACN，

∵ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠ACN=∠BCM，

∴∠MCN=60°，

∴△CMN是等边三角形，

∴∠CMN=60°，MN=CM=6，

在△AMN中，∵AM2+MN2=（4a）2+（3a）2=（5a）2=AN2，

∴∠AMN=90°，

∴∠AMC=150°．