Question

如图，⊙是的外接圆，直线与相切于点，且．

（）求证： 平分．

（）作的平分线交于点，求证： ．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接OD，由直线l与⊙O相切于点D可得出OD⊥l，结合l∥BC即可得出OD⊥BC，再根据垂径定理即可得出弧BD=弧CD，进而可得出∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；

（2）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD=∠DEB，由此即可证出BD=DE．

试题解析：证明：（1）连接OD，如图所示．

∵直线l与⊙O相切于点D，∴OD⊥l．

∵l∥BC，∴OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；

（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．

又∵弧BD=弧CD，∴∠BAD=∠CBD，∴∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE．

又∵∠DEB=BAE+∠ABE，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE．

点睛：本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，通过角的计算找出∠BAD=∠CAD（∠EBD=∠DEB）是解题的关键．