Question

如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论正确的有________________．

①BP=CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．

Answer

②③④

【解析】∵点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

∴AP=BQ，∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，BP=CQ，

∴△ABQ≌△CAP.（即结论②成立）；

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠CMQ=∠ACP+∠CAM，

∴∠CMQ=∠BAQ+∠CAM=∠CAP=60°.（即结论③成立）；

又∵∠MQC>∠ABQ=60°，

∴∠MQC>∠CMQ，

∴MC>QC，即MC>BP.（即结论①不成立）；

设t秒时，△BPQ是直角三角形，此时AP=BQ=t，BP=4-t，

（1）当∠PQB=90°，∵∠PBQ=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BQ=PB，即，解得： ；

（2）当∠QPB=90°时，∵∠PBQ=60°，

∴∠PQB=30°，

∴BP=BQ，即，解得： .

结合（1）、（2）可得：当或时，△BPQ是直角三角形.（即结论④成立）；

综上所述，正确的结论是：②③④.