Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．

（1）证明△A′AD′≌△CC′B；

（2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．

【解析】试题分析：

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC，

∴∠D′A′C′=∠BCA，

在△A′AD′和△CC′B中，

，

∴△A′AD′≌△CC′B（SAS）.

（2）当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．

理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴C′D′=CD=AB，

由（1）知AD′= C′B

∴四边形ABC′D′是平行四边形，

在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，

∴BC′=AC，

∵∠ACB=30°，

∴AB=AC，

∴AB= BC′，

∴四边形ABC′D′是菱形．

点睛：菱形的判定方法：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； 

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 

（3）四条边均相等的四边形是菱形.