Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．

Answer

（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．

【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．

试题解析：（1）【解析】
∵对角线AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠EDC=90°；

（2）证明：连接DO，

∵∠EDC=90°，F是EC的中点，

∴DF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠OCF=90°，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切线；

（3）【解析】
如图所示：可得∠ABD=∠ACD，

∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，

∴∠DCA=∠E，

又∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△CDE∽△ADC，

∴=，

∴DC2=AD•DE

∵AC=2DE，

∴设DE=x，则AC=2x，

则AC2﹣AD2=AD•DE，

期（2x）2﹣AD2=AD•x，

整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，

解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），

则DC==2x，

故tan∠ABD=tan∠ACD===2．

考点：圆的综合题.