Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：

第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．

（1）求证：四边形AEDF是菱形；

（2）若BD=6，AF=4，CD=3，求BE的长。

Answer

（1）证明见解析；（2）8．

【解析】试题分析：（1）利用直线MN是线段AD的垂直平分线，得出AD平分∠BAC，进而得出DE∥AC，同理DF∥AE，即可得出四边形ADCE是菱形；

（2）利用菱形的性质和相似三角形的性质即可得出结果．

试题解析：（1）证明∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，

∴AE=DE，AF=DF，

∴∠EAD=∠EDA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠EDA=∠CAD，

∴DE∥AC，

同理DF∥AE，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AE=DE

∴▱AEDF是菱形．

（2）∵▱AEDF是菱形．

∴AE=DE=DF=AF，

∵AF=4，

∴AE=DE=DF=AF=4，

∵DE∥AC，

∴，

∵BD=6，AE=4，CD=3，

∴，

∴BE=8．

考点：1．作图—复杂作图；2．全等三角形的判定与性质；3．线段垂直平分线的性质；4．勾股定理；5．相似三角形的判定与性质．