Question

如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC =10cm, 

(1)求证:四边形ABCD是矩形; 

(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t＜2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值; 

(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm ,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t 秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果. 

Answer

（1）见解析；（2）；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.

【解析】试题分析：（1）先根据一对对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明∠B＝90°，得出四边形ABCD是矩形；

（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出，即，求得t的值即可；

（3）分为三种情况讨论：当CQ＝CP＝4cm时，当PQ＝CQ＝4cm时，当QP＝CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．

试题解析：

证明：（1）∵AB∥DC，AB＝DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，

∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，

∴AB2＋BC2＝AC2，

∴∠B＝90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，

则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t，

∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，

∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，

∴△ABP∽△BMQ，

∴，

即，

解得t＝；

（3）分为三种情况：①如图1，

当CQ＝CP＝4cm时，

BP＝8－4＝4cm，

即t＝4秒；

②如图2，

当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于M，

则AB∥QM，

∴，

∴，

∴CM＝3.2（cm），

∵PQ＝CQ，QM⊥CP，

∴PC＝2CM＝6.4cm，

∴BP＝8cm－6.4cm＝1.6cm，

∴t＝1.6s；

③如图3，当QP＝CP时，过P作PN⊥AC于N，

则CN＝CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，

∵∠PCN＝∠BCA，

∴△PCN∽△ACB，

∴，

∴，

∴CP＝2.5cm，

∴BP＝8cm－2.5cm＝5.5cm，

t＝5.5s，

即从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形，即t＝4秒或1.6秒或5.5秒.

点睛：本题以动点问题为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用．