Question

【阅读理解】

我们知道，1+2+3+…+n=，那么1²+2²+3²+…+n²结果等于多少呢？

在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即1²，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即2²，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n²，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为1²+2²+3²+…+n²．

【规律探究】

将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为　   　，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（1²+2²+3²+…+n²）=　   　，因此，1²+2²+3²+…+n²=　   　．

【解决问题】

根据以上发现，计算： 的结果为　   　．

Answer

【规律探究】2n+1， ， ；【解决问题】1345.

【解析】试题分析：【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的，从而得出答案；

【解决问题】运用以上结论，将原式变形为，化简计算即可得．

试题解析：【规律探究】由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n=2n+1；

=，

，

故答案为：2n+1， ， ；

【解决问题】

=.

【点睛】本题主要考查数字的变化类问题，阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律，并运用规律解决实际问题是解题的关键．