Question

如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△DEC≌△EDA；

（2）求DF的值；

（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

Answer

（1）证明见解析；（2）DF=．（3） PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．

【解析】试题分析：（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS”可求得△DEC≌△EDA；

（2）根据勾股定理即可求得．

（3）由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以，从而求得PQ，由PN∥EG，得出，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．

试题解析：（1）由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，

在△ADE与△CED中，

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）如图1，

∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，

∴∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

设DF=x，则AF=CF=4-x，

在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，

即32+x2=（4-x）2，

解得：x=，

即DF=．

（3）如图2，

由矩形PQMN的性质得PQ∥CA

∴

又∵CE=3，AC==5

设PE=x（0＜x＜3），则，即PQ=x

过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，

∴

又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=，

∴=，即PN=（3-x），

设矩形PQMN的面积为S，

则S=PQ•PN=-x2+4x=-（x-）2+3（0＜x＜3）

所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．