Question

如图所示，二次函数y=ax²﹣x+c的图象经过点A（0，1），B（﹣3， ），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．

（1）求直线AB的解析式和二次函数的解析式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

（3）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），是否存在点N，使得BM与NC相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=﹣x+1；y=﹣x2﹣x+1；（2）当m=﹣时，MN取最大值，最大值为；（3）存在点N，使得BM与NC相互垂直平分，点N的坐标为（﹣1，4）

【解析】试题分析：（1）根据已知点的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（2）设点N的坐标为 则点M的坐标为

用含的代数式表示出来，结合二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）假设存在，设点N的坐标为连接，当四边形为菱形时， 与相互垂直平分，根据算出的值，从而得出点的坐标，再去验证是否等于，由此即可得出结论．

试题解析：(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b，

∴

∴

∴直线AB的解析式为：

把代入 得,

∴二次函数的解析式为：

(2)设点N的坐标为 则点M的坐标为

∴当 时,MN取最大值,最大值为

(3)假设存在,设点N的坐标为连接BN、CM，如图所示.

若要BM与NC相互垂直平分，只需四边形BCMN为菱形即可。

∵点B坐标为 点C的坐标为(−3,0)，

∴BC=52.

∵四边形BCMN为菱形，

解得：

当m=−2时,点N的坐标为

故m=−2(舍去)；

当m=−1时,点N的坐标为(−1,4)，

∴点N(−1,4)符合题意.

故存在点N,使得BM与NC相互垂直平分,点N的坐标为(−1,4).