Question

如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．

（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；

（2）在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否AC的中点？为什么？

Answer

（1）AB=AC，证明见解析；（2）当△ABC为正三角形时，E是AC的中点，理由见解析

【解析】试题分析：（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据线段垂直平分线性质推出即可；

（2）根据圆周角定理求出∠AEB=90°，根据等腰三角形性质求出即可．

试题解析：（1）证明： 连接OD，如图，

∵C是的中点，

∴∠BOC=∠COD=60°，

∴∠AOD=60°，且OA=OD，

∴△AOD为等边三角形，

∴∠EAB=∠COB，

∴OC∥AE，

∴∠OCE+∠AEC=180°，

∵CE⊥AE，

∴∠OCE=180°-90°=90°，即OC⊥EC，

∵OC为圆的半径， ∴CE为圆的切线；

（2）【解析】
四边形AOCD是菱形，理由如下：

由（1）可知△AOD和△COD均为等边三角形，

∴AD=AO=OC=CD，

∴四边形AOCD为菱形