Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）S阴影=4﹣π．

【解析】试题分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，

然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．

试题解析：（1）证明：连接OC，如图，

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

即OD垂中平分BC，

∴EC=EB，

在△OCE和△OBE中

，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，

∴OB⊥BE，

∴BE与⊙O相切；

（2）【解析】
设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，

在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，

∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，

∵tan∠BOD==，

∴∠BOD=60°，

∴∠BOC=2∠BOD=120°，

在Rt△OBE中，BE=OB=2，

∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC

=2S△OBE﹣S扇形BOC

=2××2×2﹣

=4﹣π．